User:Cerenkov/抽卡期望计算

连续抽卡出货的概率怎么算？抽数和出货个数之间的规律是怎样的？这篇文章就是用中学阶段的知识（顶多是数学竞赛初赛难度）来解答这些问题，很简单的哦～

和很多人编程模拟抽卡然后统计结果不一样，以下全部都是精确计算，而非模拟抽卡。

哈吉马路哟～简单易懂的抽卡数学～

只用单抽券的情形

定义

这里先忽略60%概率UP，把抽出四星就叫做“出货”。

同时也忽略十连抽卡的特殊概率，仅使用出货概率$p=1\%$的单抽券。

用随机变量$X_{k}$表示单抽$k$次后得到的四星魔法少女的个数。

“单抽$k$次出货$x$个”这一事件便记作$X_{k}=x$，该事件发生的概率记作$P(X_{k}=x)$。

那么当$k$不变时，随机变量$X_{k}$的数学期望就是$E[X_{k}]=\sum _{x=0}^{k}P(X_{k}=x)\cdot x$。

例如：单抽1次出货1个的概率$P(X_{1}=1)=1\%$，出货0个的概率$P(X_{1}=0)=99\%$，因此单抽1次的出货个数的数学期望$E[X_{1}]=P(X_{1}=1)\cdot 1+P(X_{1}=0)\cdot 0=0.01$

简单易懂的切入角度

考虑最简单的情形，$E[X_{2}]=P(X_{2}=0)\cdot 0+P(X_{2}=1)\cdot 1+P(X_{2}=2)\cdot 2$

由于两次单抽是独立随机事件事件，假如用$P_{1}$和$Q_{1}$分别代表第一抽出货和不出货的概率、用$P_{2}$和$Q_{2}$代表第二抽出货和不出货的概率的话，那么
${\begin{aligned}E[X_{2}]&=Q_{1}Q_{2}\cdot 0+(Q_{1}P_{2}+P_{1}Q_{2})\cdot 1+P_{1}P_{2}\cdot 2\\&=Q_{2}\cdot (Q_{1}\cdot 0+P_{1}\cdot 1)+P_{2}\cdot (Q_{1}\cdot 1+P_{1}\cdot 2)\\&=Q_{2}\cdot E[X_{1}]+P_{2}\cdot (E[X_{1}]+1)\end{aligned}}$

这就是数列$\{E[X_{k}]\}_{k\in Z_{+}}$第二项与第一项之间的递推关系。

同理，数列第三项与前两项的递推关系就是
${\begin{aligned}E[X_{3}]&=Q_{3}\cdot E[X_{2}]+P_{3}\cdot (E[X_{2}]+1)\\&=Q_{3}\cdot [Q_{2}\cdot E[X_{1}]+P_{2}\cdot (E[X_{1}]+1)]+P_{3}\cdot (E[X_{2}]+1)\\&=Q_{3}Q_{2}\cdot E[X_{1}]+Q_{3}P_{2}\cdot (E[X_{1}]+1)+P_{3}\cdot (E[X_{2}]+1)\end{aligned}}$

可以注意到，上式最后一项$P_{3}$代表的是第三抽出了货的情形，倒数第二项$Q_{3}P_{2}$代表的是第三抽没出货、第二抽出了货的情形，剩下的那项$Q_{3}Q_{2}$代表的是第三抽和第二抽都没出货的情形。

简单易懂的推广

因此，推广到101项的时候，可以同理写出
${\begin{aligned}E[X_{101}]&=P_{101}\cdot (E[X_{100}]+1)+Q_{101}P_{100}\cdot (E[X_{99}]+1)+Q_{101}Q_{100}P_{99}\cdot (E[X_{98}]+1)+\\&\quad \cdots +Q_{101}Q_{100}\cdots Q_{3}P_{2}\cdot (E[X_{1}]+1)+Q_{101}Q_{100}\cdots Q_{2}\cdot E[X_{1}]\end{aligned}}$

不过这里有一个小小的问题：连续99抽不出货之后，第100抽不出货也要出货。

上式的前面的项都包含有某个$P_{i}$，对应了至少有一次出货的情形，唯独最后一项代表第2抽到第101抽均不出货，因此该项应修正为$Q_{101}Q_{100}\cdots Q_{2}\cdot (E[X_{1}]+1)$

然后用$p=1\%$和$N=100$来重写上式，就得到
$E[X_{N+1}]=\sum _{i=1}^{N}(1-p)^{i-1}p\cdot (E[X_{N+1-i}]+1)+(1-p)^{N}\cdot (E[X_{N+1-N}]+1)$

将上式的$N+1$替换成$k$便可得到数列的$N$阶线性递推关系：
$E[X_{k}]=\sum _{i=1}^{N}(1-p)^{i-1}p\cdot (E[X_{k-i}]+1)+(1-p)^{N}\cdot (E[X_{k-N}]+1)$

不难发现上式的常数项$\sum _{i=1}^{N}(1-p)^{i-1}p+(1-p)^{N}=1$，因此可以写成
$E[X_{k}]=\sum _{i=1}^{N}(1-p)^{i-1}p\cdot E[X_{k-i}]+(1-p)^{N}\cdot E[X_{k-N}]+1$

求解数列通项公式

首先来去掉常数项：定义一个新的数列$F_{k}=E[X_{k}]-\alpha k$，其中$\alpha$是待定常系数，那么递推关系就成了
$F_{k}=\sum _{i=1}^{N}(1-p)^{i-1}p\cdot [F_{k-i}+\alpha (k-i)]+(1-p)^{N}\cdot [F_{k-N}+\alpha (k-N)]+1-\alpha k$

令递推关系中的常数项等于零，即
${\begin{aligned}0&=\sum _{i=1}^{N}(1-p)^{i-1}p\cdot \alpha (k-i)+(1-p)^{N}\cdot \alpha (k-N)+1-\alpha k\\&=1-\alpha \cdot [\sum _{i=1}^{N}(1-p)^{i-1}p\cdot i+(1-p)^{N}\cdot N]\end{aligned}}$

因此要消去常数项，只需令
${\begin{aligned}\alpha &={\frac {1}{\sum _{i=1}^{N}(1-p)^{i-1}p\cdot i+(1-p)^{N}\cdot N}}\\&={\frac {p}{1-(1-p)^{N}}}\end{aligned}}$
（其中使用了关系式$pN=1$来化简）

然后我们写出齐次递推数列$\{F_{k}\}_{k\in Z_{+}}$的特征方程：
$\lambda ^{N}=\sum _{i=1}^{N}(1-p)^{i-1}p\cdot \lambda ^{N-i}+(1-p)^{N}$

点击此处尝试求解该方程，并发现方程的解近似于均匀分布在复平面单位圆上。

点击此处严格求该方程当$p=0.25$、$N=4$时的精确解，得到$\lambda _{0}=1$、$\lambda _{1}=0.75i$、$\lambda _{2}=-0.75$、$\lambda _{3}=-0.75i$四个解。

于是猜想特征方程的$N$个复根应该就是$\lambda _{0}=1$，$\lambda _{j}=(1-p)e^{\frac {2\pi ij}{N}}$（$j=1\cdots N-1$），代入特征方程不难验证其成立。

有了特征根$\lambda _{j}$，可以直接看出$F_{k}=\lambda _{j}^{k}$（$j=0\cdots N-1$）是$N$种符合数列$\{F_{k}\}$递推关系的解。

它们线性组合成数列递推关系的通解
$F_{k}=A_{0}+\sum _{j=1}^{N-1}A_{j}\lambda _{j}^{k}$
其中$A_{0},A_{1},\cdots ,A_{N-1}$是$N$个待定常系数。

另一方面，数列的前100项是已知的：当$0\leqslant k\leqslant 99$即还没到保底时，每一抽的数学期望都是$0.01$并且互相独立，因此
$E[X_{k}]=pk$（$k=0\cdots N-1$）

用这$N$条等式求解$N$个待定系数，可以算得
${\begin{aligned}A_{0}&=-{\frac {1}{(1-(1-p)^{-N})^{2}}}\\A_{j}&={\frac {1}{N}}{\frac {1-e^{-{\frac {2\pi ij}{N}}}}{(1-(1-p)^{-1}e^{-{\frac {2\pi ij}{N}}})^{2}}}\end{aligned}}$
（其中使用了关系式$pN=1$来化简）

结论

单抽$k$次后得到的四星魔法少女个数的数学期望是
$E[X_{k}]=\alpha k+A_{0}+\sum _{j=1}^{N-1}A_{j}\lambda _{j}^{k}$

代入$\alpha ,A_{j},\lambda _{j}$的表达式则是：
$E[X_{k}]={\frac {p}{1-(1-p)^{N}}}k-{\frac {1}{(1-(1-p)^{-N})^{2}}}+{\frac {(1-p)^{k}}{N}}\sum _{j=1}^{N-1}{\frac {1-e^{-{\frac {2\pi ij}{N}}}}{(1-(1-p)^{-1}e^{-{\frac {2\pi ij}{N}}})^{2}}}e^{\frac {2\pi ijk}{N}}$

代入$p=0.01$、$N=100$得到数值表达式：
$E[X_{k}]={\frac {k}{63.3968}}-0.3335+{\frac {0.99^{k}}{100}}\sum _{j=1}^{N-1}{\frac {1-e^{-{\frac {2\pi ij}{100}}}}{(1-{\frac {1}{0.99}}e^{-{\frac {2\pi ij}{100}}})^{2}}}e^{\frac {2\pi ijk}{100}}$

假如要求的是pickup四星魔法少女的个数的数学期望，则需往上式再乘以$60\%$

注意当$k$超过100之后，上式第三项将迅速下降到不足0.01的程度，整体走势近似于线性增长：
$60\%E[X_{k}]\approx {\frac {k}{105.6613}}$

只用十连券的情形

定义

先忽略60%概率UP，不过这次只使用十连券，当中包含一次出货概率$q=2\%$的单抽和九次出货概率$p=1\%$的单抽。

要完整描述不停十连的随机过程，我们要引入“状态”的概念。即便都是$k$次十连后得到了$i$个四星魔法少女，只要最后的保底计数$n$不一样，那就是两个不同的状态。

用$P_{n}^{k,i}$表示$k$次十连后得到了$i$个四星魔法少女、并且保底计数为$n$的概率，且符合归一性：$\sum _{i=0}^{10k}\sum _{n=0}^{99}P_{n}^{k,i}=1$

那么$k$次十连出货个数的数学期望就是$E_{k}=\sum _{i=0}^{10k}\sum _{n=0}^{99}P_{n}^{k,i}\cdot i$

由于十连概率的复杂性，精确解出数学期望关于抽数的解析公式已经不实际，因此退而求其次用程序执行递推计算。

递推方式

通过一次十连从一个状态转变到另一个状态的过程可以用“转移矩阵”来描述，这个转移过程是和当前的十连抽数$k$及已出货数量$i$无关的，重要的是转移前后两个状态的保底计数$n$和$m$以及这次十连的出货数量$j$。

用$M_{m,n}^{j}$表示从保底计数$m$经过一次十连出货$j$个、变成保底计数$n$的概率，解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle M^{j \geqslant 11}_{m, n} = 0} ，且有归一性：$\sum _{j=0}^{10}\sum _{n=0}^{99}M_{m,n}^{j}=1$
那么所求概率$P_{n}^{k,i}$的递推公式就是：$P_{n}^{k,i}=\sum _{m=0}^{99}\sum _{j=0}^{i}P_{m}^{k-1,i-j}M_{m,n}^{j}$
初始条件是：$P_{0}^{0,0}=1$，$P_{n}^{0,i\neq 0}=P_{n\neq 0}^{0,i}=0$

简单探讨一下

当然，在很多情况下，递推关系可以化简，例如假如保底计数$n\geqslant 10$，那么说明这次十连没有出货，因此解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle P^{k, i}_n} 只依赖于$P_{n-10}^{k-1,i}$，并且等于它乘上十次失败的概率解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle (1-p)^9(1-q)} 。这也就是说：解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle M^{j}_{m, n \geqslant 10} = \delta_{j,0} \delta_{m,n-10} (1-p)^9(1-q)}

也可以换一个角度说，假如这次十连的出货数量解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle j=0} ，那么解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle m} 和解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle n} 必须满足解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle m=n-10} ，这一等式已经隐含了解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle n \geqslant 10} 的条件，也隐含了解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle m \leqslant 89} 的条件（即保底计数至少90的话这个十连必然出货解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle j \geqslant 1} 才对）。这也就是说：解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle M^0_{m,n} = \delta_{m,n-10} (1-p)^9(1-q)}

而对于这次十连的出货数量解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle j \geqslant 1} 的时候，则需要区分出可能触发保底和没触发保底两种情况。

假如出货数量解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle j=1} ，而十连后的保底计数解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle n=0} ，这说明刚好在第十抽出了货。

• 假如旧的保底计数解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle m \leqslant 89} ，则说明是提前出货的，必定没触发保底；
• 假如解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle m=90} ，那么它必定触发了保底，概率就是另外九抽都不出货的概率；
• 假如解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle m \geqslant 91} ，这种情况是不存在的，即解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle M^1_{m \geqslant 91,0}=0} ，因为这意味着除了第十抽出货以外还应当有一次保底出货才对。

稍微推广一下，在出货数量解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle j=1} 的情况下，十连后的保底计数必须满足解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle n \leqslant 9} ，即解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle M^1_{m,n \geqslant 10}=0} ，此时出货的恰好是第解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle 10-n} 抽。

• 假如旧的保底计数解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle m \leqslant 99-(10-n)=89+n} ，则说明是提前出货的，必定没触发保底；
• 假如解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle m=90+n} ，那么它必定触发了保底，概率就是另外九抽都不出货的概率；
• 假如解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle m \geqslant 91+n} ，这种情况不存在，即解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle M^1_{m \geqslant 91+n,n}=0} ，因为这意味着应当至少出货了两次才对。

类似的，假如出货数量解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle j=2} ，则十连后的保底计数必须满足解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle n \leqslant 8} ，即解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle M^2_{m,n \geqslant 9}=0} ，此时出货的是第解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle 10-n} 抽和更之前的第解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x} 抽（解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x \leqslant 9-n} ）。

• 假如旧的保底计数解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle m \leqslant 99-(9-n)=90+n} ，则说明第解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x} 抽是提前出货的，必定没触发保底；
• 假如解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle m \geqslant 91+n} ，那么就要计算两种情况的概率之和，一种是第解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x} 抽提前出货，解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle m+x \leqslant 99} ，按照没触发保底计算概率，另一种是第解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x} 抽刚好触发保底，解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle m+x=100} ，按照另外九抽里面固定位置（第解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle 10-n} 抽）出货一次来计算概率。

假如出货数量解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle j=3} ，则十连后的保底计数必须满足解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle n \leqslant 7} ，即解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle M^3_{m,n \geqslant 8}=0} ，此时出货的是第解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle 10-n} 抽和更之前的某两抽，设第一次出货的是$x\leqslant 8-n$。

• 假如旧的保底计数解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle m \leqslant 99-(8-n)=91+n} ，则说明第解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x} 抽是提前出货的，必定没触发保底；
• 假如$m\geqslant 92+n$，那么就要计算两种情况的概率之和，一种是第解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x} 抽提前出货，$m+x\leqslant 99$，按照没触发保底计算概率，另一种是第$x$抽刚好触发保底，$m+x=100$，按照另外九抽里面除了固定位置（第解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle 10-n} 抽）以外还有一次位于第解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x} 抽和第解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle 10-n} 抽之间的另一抽也出货，这样两次出货来计算概率。

推而广之，对于出货数量解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle j \geqslant 2} ，则十连后的保底计数必须满足解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle n \leqslant 10-j} ，即解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle M^j_{m,n \geqslant 11-j}=0} ，此时出货的是第解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle 10-n} 抽和更之前的某解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle j-1} 抽，设第一次出货的是解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x \leqslant 11-j-n} 。

• 假如旧的保底计数解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle m \leqslant 99-(11-j-n)=88+j+n} ，则说明第解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x} 抽是提前出货的，必定没触发保底；
• 假如解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle m \geqslant 89+j+n} ，那么就要计算两种情况的概率之和，一种是第解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x} 抽提前出货，解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle m+x \leqslant 99} ，按照没触发保底计算概率，另一种是第解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x} 抽刚好触发保底，解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle m+x=100} ，按照另外九抽里面除了固定位置（第解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle 10-n} 抽）以外还有解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle j-2} 次位于解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x} 抽和第解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle 10-n} 抽之间的解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle j-2} 抽也出货，这样解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle j-1} 次出货来计算概率。

递推公式结论

为了方便叙述，我们定义一个基础概率：
解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle B_{i, j} = \frac{j}{10}(1-p)^{j-1}(1-q) p^i + \frac{i}{10}(1-p)^{j} p^{i-1}q + (1-\frac{i+j}{10})(1-p)^j p^i}
它代表10抽里面有固定位置的某解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle i} 抽出货、另外某解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle j} 抽没出货的概率。要计算没触发保底的概率，我们会用到其中解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle i+j=10} 的情况；要计算刚好触发保底的概率，我们会用到其中解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle i+j=9} 的情况。

那么前面的分类讨论就可以重新合并表述为：

• 当解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle j=0} 时，解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle M^0_{m,n} = \delta_{m,n-10} B_{0,10}} ；
• 当解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle j=1} 时，首先解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle M^1_{m,n \geqslant 10}=0} ，而对于解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle n \leqslant 9} 的情形则分类讨论：
  • 假如解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle m \leqslant 89+n} ，则没触发保底，且在1个固定位置提前出货，解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle M^1_{m, n} = B_{1,9}} ；
  • 假如解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle m=90+n} ，则刚好触发保底，另外九抽没出货，解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle M^1_{90+n, n} = B_{0,9}} ；
  • 假如解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle m \geqslant 91+n} ，则解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle M^1_{m, n}=0} ；
• 当解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle j \geqslant 2} 时，首先解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle M^j_{m,n \geqslant 11-j}=0} ，而对于解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle n \leqslant 10-j} 的情形则分类讨论：
  • 假如$m\leqslant 88+j+n$，则没触发保底，除了1个固定位置解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle 10-n} 出货外，还有其前面$9-n$个位置当中的解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle j-1} 个位置也出货，解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle M^j_{m, n} = \binom{9-n}{j-1} B_{j, 10-j}} ；
  • 假如解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle m \geqslant 89+j+n} ，那么位于第解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle 10-n} 抽之前的那解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle j-1} 个出货抽的可能位置可以分成三种情况：
    • 第一种情况是第解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x=100-m} 抽刚好触发保底，其余的解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle j-2} 抽位于第解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle 100-m} 抽和第解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle 10-n} 抽之间，有解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle (10-n)-(100-m)-1 = m-n-91} 个位置，情况数量是解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \binom{m-n-91}{j-2}} ；
    • 第二种情况是第解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle 100-m} 抽的位置也没出货（虽然这不符合保底机制），全解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle j-1} 出货抽都位于它后面的解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle m-n-91} 个位置中，情况数量是解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \binom{m-n-91}{j-1}} ；这两种情况数量之和解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \binom{m-n-91}{j-2}+\binom{m-n-91}{j-1} = \binom{m-n-90}{j-1}} ；
    • 第三种情况是在第解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle 100-m} 保底抽的位置之前就出货了，三种情况数量之和恰恰是解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \binom{9-n}{j-1}} ，因此单独第三种情况数量就是解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \binom{9-n}{j-1}-\binom{m-n-90}{j-1}} ；
    • 因此将触发保底的概率和没触发保底的概率加起来得到解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle M^j_{m, n} = \binom{m-n-91}{j-2} B_{j-1,10-j} + (\binom{9-n}{j-1}-\binom{m-n-90}{j-1}) B_{j,10-j}}

用代码表述的话就是：

def M(j, m, n):
    if j==0:
        if m!=n-10: return 0
        else: return B(0, 10)
    elif j==1:
        if n>=10: return 0
        elif m<=89+n: return B(1, 9)
        elif m==90+n: return B(0, 9)
        else: return 0
    else:
        if n>=11-j: return 0
        elif m<=88+j+n: return binom(9-n, j-1)*B(j, 10-j)
        else: return binom(m-n-91, j-2)*B(j-1, 10-j) + (binom(9-n, j-1)-binom(m-n-90, j-1))*B(j, 10-j)

程序代码

# coding=utf-8
# gacha_probabilities_v4.py

import numpy as np
import math

print("start")
p = 0.01
q = 0.02
Number = 1000
kmax = math.ceil(Number/10)
B_full = np.zeros(shape=(11))
B_part = np.zeros(shape=(10))
M_bubaodi = np.zeros(shape=(11, 10))
M_baodi = np.zeros(shape=(11, 9, 9))
def B(i, j):
    return (j/10)*(1-p)**(j-1)*(1-q)*p**i + (i/10)*(1-p)**j*p**(i-1)*q + (1-(i+j)/10)*(1-p)**j*p**i
for j in range(11):
    B_full[j] = B(j, 10-j)
for j in range(10):
    B_part[j] = B(j, 9-j)
for j in range(1, 11):
    for n in range(0, 11-j):
        M_bubaodi[j][n] = math.comb(9-n, j-1)*B_full[j]
for j in range(2, 11):
    for n in range(0, 11-j):
        for m in range(89+j+n, 100):  # m>=89+j+n>=91
            M_baodi[j][n][m-91] = math.comb(m-n-91, j-2)*B_part[j-1] + (math.comb(9-n, j-1)-math.comb(m-n-90, j-1))*B_full[j]
print("M matrix ready")

P = np.zeros(shape=(kmax+1, 10*kmax+1, 100))
P[0][0][0] = 1
P_check = np.zeros(shape=(kmax+1))
E = np.zeros(shape=(kmax+1))
for k in range(1, kmax+1):
    for i in range(10*k+1):
        for n in range(100):
            if n>=10:
                P[k][i][n] = P[k-1][i][n-10] * B_full[0]    # case j==0
            else:
                if i==0: continue
                for m in range(90+n):
                    P[k][i][n] += P[k-1][i-1][m] * B_full[1]    # case j==1, m<=89+n
                P[k][i][n] += P[k-1][i-1][90+n] * B_part[0]    # case j==1, m==90+n
                for j in range(2, min(i, 10-n)+1):    # case j>=2
                    for m in range(89+j+n):
                        P[k][i][n] += P[k-1][i-j][m] * M_bubaodi[j][n]    # case m<=88+j+n
                    for m in range(89+j+n, 100):
                        P[k][i][n] += P[k-1][i-j][m] * M_baodi[j][n][m-91]    # case m>=89+j+n
            P_check[k] += P[k][i][n]
            E[k] += P[k][i][n]*i
    print("k = %3g, E[k] = %3.10f, P_check = %3.10f" % (k, E[k], P_check[k]))

运行结果

执行了50次十连后手动暂停了程序，共500抽，图为每次十连后得到的四星魔法少女数量的数学期望。

考虑到浮点计算始终会有精度问题，计算误差会逐渐累积，所以每执行一步十连后都把此时所有可能情况的概率解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle P^{k, i}_n} 求和，以P_check的值与1的差值来衡量计算误差的大小。

计算结果大体上是：

100抽时解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle E_{k=10} = 1.4306954890}

200抽时解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle E_{k=20} = 3.0039775073}

300抽时解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle E_{k=30} = 4.6244122476}

400抽时解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle E_{k=40} = 6.2604401804}

500抽时解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle E_{k=50} = 7.9016247117}

此外请注意需要乘上解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle 60%} 才是得到的pickup四星魔法少女的个数的数学期望。

一般认为在430抽时解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle 60%E_{k=43} = 0.6*6.7516090538 = 4.05096543228} 根据数学期望就已经满孔了，但数学期望是会骗人的，“430抽时抽得pickup四星个数的数学期望是4个”和“抽满4个pickup四星所需的抽数的数学期望是430抽（或者别的数字）”是完全不同的两码事，更不要提那意味着430抽内抽满和430抽抽不满的概率基本上是一半一半，并不能保证你430抽就一定能抽满孔。